Korollar - Anzahl der Nullstellen von Polynomen

• Involvierte Definitionen:
  • Nullstelle
  • Polynom
• Referenz: Mathegrundlagen

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Korollar: Anzahl der Nullstellen von Polynomen

Sei ein Polynom. Sei . Sei .

Ist , so hat höchstens verschiedene Nullstellen.

Beweis

Ist mit , dann kann keine Nullstellen haben, denn .

Wir beweisen die Behauptung durch Widerspruch. Sei im Folgenden . Seien Nullstellen von mit .

Mit Proposition 14.2.6 können wir wie folgt faktorisieren:

Das heißt, wir führen die Division mit Rest erst für durch, dann für das Polynom , dann für und so weiter.

Die Anzahl dieser Zerlegungen ist jedoch begrenzt. Sei . Wir zerlegen wie folgt:

Mit der Gradformel ist . Es folgt, dass . Der Grad der ist also streng monoton fallend.

Da , gibt es genau solcher Zerlegungen, wobei . Wie bereits in der Einleitung zu diesem Beweis festgestellt, haben Polynome mit Grad keine Nullstellen. Daher hat auch keine Nullstellen. können also keine Nullstellen von sein.