Proposition - Nullstelle gdw T-lambda ein Faktor ist

• Involvierte Definitionen:
  • Polynom
  • Faktor eines Polynoms
• Veranstaltung: Mathegrundlagen, MatheDS
• Referenz: Mathegrundlagen, @riedel2023

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Proposition: Nullstellen und Faktoren

Sei ein Körper und ein Polynom.

Es gilt: ist eine Nullstelle von

Theorem: Darstellung eines Polynoms durch Nullstellen

Seien die Nullstellen von .
Dann lässt sich auch schreiben als:

Beweis

1. Teil

Sei eine Nullstelle von . Dann gilt . Wir dividieren mit Rest (siehe Proposition 14.2.6) durch das Polynom , wobei erhalten:

Es gibt nun zwei Fälle. Entweder ist oder .

Ist , dann ist nach Definition des Grads das Nullpolynom und es gilt , was zu zeigen war.

Ist , dann ist nur eine Zahl, also . Dann gilt also, .

Wir setzen nun in die Gleichung ein und erhalten:

Das ist jedoch ein Widerspruch zu der Annahme, dass eine Nullstelle von ist, dann müsste nämlich gelten, dass .

Es folgt, dass das Nullpolynom sein muss und damit , was zu zeigen war.

2. Teil

Es existiere ein , sodass .

Dann gilt , das heißt, ist eine Nullstelle von , was zu zeigen war.

3. Teil

Da beide Richtungen halten, gilt die Aussage.