Proposition - Inhalt auf Ring ist Subtraktiv

• Involvierte Definitionen:
  • Inhaltsfunktion
  • Ring
  • Subtraktivität von Mengenfunktionen
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Proposition: Inhalt auf Ring ist Subtraktiv

Sei eine Grundmenge.
Sei ein Ring über .
Sei ein Inhalt auf .

Dann gilt: ist subtraktiv. Also:

Beweis

Seien als beliebig mit .

Falls wir zeigen können, dass

dann sind wir fertig. Denn da ist, können wir die Gleichung einfach umstellen. (Dass ist wichtig, denn wäre es nicht gegeben, dann wäre möglicherweise , was die Gleichung kaputtmachen würde.)

Für Gleichung gilt auf jeden Fall, dass und disjunkt sind, also:

Da als Inhaltsfunktion auch endlich additiv ist und nach der 3. Ring-Eigenschaft , gilt damit weiter:

Der letzte Schritt gilt, da . Gleichung gibt uns, was wir aus Gleichung zeigen wollten.

Mit unseren Vorbetrachtungen, insbesondere, dass , folgt, was zu zeigen war. Es gilt: