Definition - Relatives Inneres

• Konstrukte:
  • Slaters Bedingung
• Generalisierungen:
  • Innere Punkte einer Menge
• Involvierte Definitionen:
  • Konvexe Menge
  • Offene Kugel
  • Affine Hülle
  • Innere Punkte einer Menge
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023 (3.4.14)

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Definition: Relatives Inneres

Sei eine konvexe Menge.

Als das relative Innere von definieren wir

Das relative Innere entspricht also genau den inneren Punkten der affinen Hülle von .

Anmerkung

Unterschied zwischen inneren und relativ inneren Punkten

Die Menge der inneren und der relativ inneren Punkte sind zwei verschiedene Blickwinkel.

Betrachten wir bspw. eine Menge von Punkten in :

Bildlich gesprochen ist eine flache Kreisscheibe um den Ursprung mit Radius (auch einfach Einheitskreis).

Nach Definition sind nun alle Punkte im Inneren von , um die eine offene Kugel gezeichnet werden kann, die vollständig in liegt. Also:

Für unser lässt sich aber leider um keinen der Punkte eine solche Kugel zeichnen, denn eine Kugel ist immer in alle drei Dimensionen ausgedehnt - hat aber nur eine Ausdehnung in den ersten beiden Dimensionen ( und ). Daher ist .

Das relative Innere von wird durch die affine Hülle von definiert. Die ergibt sich als Kombination von Punkte aus . Da , wie schon gesagt, einer flachen Kreisscheibe entspricht, entspricht dem Raum , in dem die Kreisscheibe liegt. Das relative Innere von ergibt sich nun durch den Schnitt der offenen Kugel von oben mit . Kugel geschnitten mit Ebene ergibt einen Kreis. Und davon gibt es in unserer Kreisscheibe genug. Für das relative Innere gilt:

und das entspricht der Kreisscheibe ohne ihren Rand, .