Proposition - Umkehrfunktion streng monoton fallender Funktion ist streng monoton fallend

• Involvierte Definitionen:
  • Streng monoton fallende Funktion
  • Funktion
  • Umkehrfunktion
• Referenz: Mathegrundlagen

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Proposition: Umkehrfunktion streng monoton fallender Funktion ist streng monoton fallend

Ist eine streng monoton fallende Funktion, so ist ebenfalls streng monoton fallend.

Beweis

Sei eine streng monoton fallende Funktion. Wir zeigen zunächst, dass es überhaupt ein zu gibt.

Da damit auch monoton ist, gilt mit Proposition 14.1.11 1.), dass injektiv ist. Daher gibt es eine Umkehrfunktion .

Seien nun und . Dann ist entweder:

1. . Dann gibt es mit und . Da streng monoton fällt, gilt . Damit gilt . Es folgt, dass auch streng monoton fällt.
2. oder . Dann gibt es mit und . Da streng monoton fällt, gilt . Damit gilt . Es folgt, dass auch streng monoton fällt.