Definition - Pólyasches Urnenmodell

• Konstrukte:
  • Grundraum des Polya-Modells
  • Startwahrscheinlichkeiten des Polya-Modells
  • Übergangswahrscheinlichkeiten des Polya-Modells
  • Massenfunktion des Polya-Modells
  • Wahrscheinlichkeitsmaß des Polya-Modells
  • Zufallsvariable für die Anzahl gezogener roter Kugeln (im Polya-Modell)
  • Polya-Verteilung
• Generalisierungen:
  • Urnenmodell
  • Mehrstufiger stochastischer Vorgang
• Involvierte Definitionen:
  • Urnenmodell
  • Mehrstufiger stochastischer Vorgang
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Definition: Pólyasches Urnenmodell

Als Pólyasches Urnenmodell bezeichnen wir ein Zufallsexperiment nach dem folgenden Schema:

Seien die ersten Kugeln in einer Urne rot.
Seien die verbleibenden Kugeln schwarz.
Es wird insgesamt -mal gezogen.

Bei jedem Zug wird:

• Eine Kugel zufällig gezogen.
• Die Farbe der gezogenen Kugel notiert.
• Die Kugel zurück in die Urne gelegt.
• weitere Kugeln der Art der gerade gezogenen werden in die Urne gelegt.
  • ist negativ, so werden entsprechend Kugeln entnommen.

Die Hypergeometrische- und die Binomialverteilung sind Spezialfälle der Polya-Verteilung

• Für entspricht die Polya-Verteilung der Binomialverteilung mit .
• Für entspricht die Polya-Verteilung der hypergeometrischen Verteilung mit .

Anmerkung

Historischer Hintergrund

Das hier beschriebene mehrstufige Urnenmodell wurde 1930 von George Pólya (1887-1985) vorgeschlagen, um die Ausbreitung ansteckender Krankheiten zu modellieren.

Beispiel: Stabdiagramme nach @henze2019