Definition - Diskrete Wavelet-Transformation

• Beispiele:
  • Diskrete Wavelet-Transformation mit Haar-Wavelet
  • Inverse Diskrete Wavelet-Transformation mit Haar-Wavelet
• Generalisierungen:
  • Dimensionsreduktion
• Involvierte Definitionen:
  • Einfache Kompressionsverfahren (bspw. RLE)
  • Stetige Faltung
  • Skalarprodukt zwischen Funktionen
• Veranstaltung: DM
• Referenz:
  • @valdes2024 (p. 78 ff.)
  • @stollnitz1994
  • @owens1997 (Lecture #1 und #2)
  • Wavelets: a mathematical microscope by Artem Kirsanov
  • The Wavelet Tutorial by Robi Polikar, insb. Part 4
  • Wikipedia

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Definition: Diskrete Wavelet-Transformation

Als diskrete Wavelet-Transformation (kurz DWT) bezeichnen wir ein Verfahren zur Analyse von Signalen, bei dem das Signal in verschiedene Frequenzbereiche zerlegt wird.

Dies geschieht mithilfe von Wavelets (de. kleine Welle, Wellchen), durch die ein -dimensionaler Vektor in einen ebenfalls -dimensionalen, diesmal ist jedoch dünn (en. sparse) besetzten Vektor umgewandelt wird.

Anschließend können Koeffizienten, die einen Schwellenwert unterschreiten, auf Null gesetzt und mittels Kompressionsverfahren (bspw. RLE) abgespeichert werden.

Die DWT eignet sich besonders zur Datenkompression und von Signalmerkmalen und zur Datenreduktion oder Kompression von Bildern, Videos und sonstigen Signalen. Als erfreulichen Nebeneffekt bereinigt die DWT Datensätze auch von Ausreißern.

Allgemeine Durchführung der diskreten Wavelet-Transformation

Für die Durchführung der DWT gibt es einige unterschiedliche Herangehensweisen und Formulierungen.

Im Allgemeinen handelt es sich jedoch um die iterative Durchführung zweier Filteroperationen und . In der Literatur werden und auch als

• : Low-Pass-Filter oder Approximation-Filter
• : High-Pass-Filter oder Detail-Filter

bezeichnet. Diese beiden Filter entspringen direkt dem Wavelet, denn: die Definition eines Wavelets umfasst immer ein Paar aus Wavelet-Funktion, , und Scaling-Funktion, .

Das iterative Vorgehen ist dann wie folgt:

• Iteration 1
  • Approximationswerte mittels auf Basis der originalen Zeitreihe berechnen
  • Detailwerte mittels auf Basis der originalen Zeitreihe berechnen
• Iteration 2
  • Approximationswerte mittels auf Basis von berechnen
  • Detailwerte mittels auf Basis von berechnen
• Iteration
  • Approximationswerte mittels auf Basis von berechnen
  • Detailwerte mittels auf Basis von berechnen

Sobald das Ergebnis in Schritt nur noch einen einzigen Approximationswert und einen Detailwert enthält, endet der Algorithmus. Das Ergebnis ist dann das Array¹:

äää

Für eine vollständige Herleitung an einem Beispiel, siehe Diskrete Wavelet-Transformation mit Haar-Wavelet.

Footnotes

1. Das Array hier ist flach, nicht geschachtelt. ↩