Proposition - Wenn alle beschränkten Teilmengen ein Supremum haben, dann hat auch jeder Dedekind'sche Schnitt genau eine Trennungszahl

• Bewiesen durch:
  • Supremumsprinzip
• Involvierte Definitionen:
  • Supremum
  • Dedekind’scher Schnitt
  • Trennungszahl

Proposition: Supremumsprinzip jeder Dedekind'sche Schnitt hat genau eine Trennungszahl

Wenn jede nicht leere, nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt, dann besitzt jeder Dedekind’sche Schnitt genau eine Trennungszahl.

Beweis

Sei ein Dedekind’sche Schnitt. Dann gilt nach Definition .

Weiter sind alle Elemente in obere Schranken von sind, denn nach Definition.

Es folgt, dass eine nicht leere, nach oben Beschränkte Menge ist. Nach dem Supremumsprinzip hat damit ein Supremum .

Da damit auch eine Obere Schranke von ist, gilt: .

Um zu zeigen, dass eine Trennungszahl ist, bleibt zu prüfen, ob .

Das zeigen wir durch Widerspruch. Sei hierzu mit . Dann ist eine kleinere obere Schranke als . Das ist jedoch nicht möglich, denn ist bereits die kleinste obere Schranke.

Weiter haben wir in Bemerkung 12.2.48 1.) bereits gezeigt, dass eindeutig ist.