Proposition - Mengendefinition der Epsilon-Umgebung

• Involvierte Definitionen:
  • Epsilon-Umgebung
  • Offenes Intervall
  • Abgeschlossenes Intervall
  • Randpunkte eines Intervalls

Proposition: Mengendefinition der Epsilon-Umgebung

Sei und . Dann gilt:

Bemerkung: Epsilon-Umgebung um Null

Setzen wir , so erhalten wir

Beweis

Zu 1

Nach Definition ist das offene Intervall , wobei

• die Randpunkte des Intervalls,
• der Mittelpunkt und
• der Radius sind.

Es gilt: und .

Und damit

• und

Also: .

Nach Definition 12.2.29 1.) gilt also

Es gilt weiter

Beziehungsweise:

Das heißt, wird von “eingekesselt”.

1. Ist dann gilt und damit auch
2. Ist , dann ist und mit Merkregel 12.2.11 gilt und das ist äquivalent zu

Sei mit

Es ist zu zeigen, dass

1. Fall:

Ist , so gilt .

Weiter gilt mit Proposition 12.2.3 4.):

Mit dem Transitivitätsgesetz (A7) gilt also:

Mit dem Monotoniegesetz (A8) addieren wir zu allen Teilen der Ungleichung und erhalten:

Damit ist , was zu zeigen war.

2. Fall

Ist , so gilt .

Mit Proposition 12.2.3 4.) gilt weiter:

Mit dem Transitivitätsgesetz (A7) gilt also:

Mit dem Monotoniegesetz (A8) addieren wir zu allen Teilen der Ungleichung und erhalten:

Damit ist , was zu zeigen war.

Schluss

Da beide Fälle halten, gilt allgemein, dass , was zu zeigen war.

Schluss

Da beide Teilmengenbeziehungen halten, gilt die Behauptung.

Zu 2

Sei

Es ist zu zeigen, dass

Nach Definition ist das Abgeschlossene Intervall , wobei

• die Randpunkte des Intervalls,
• der Mittelpunkt und
• der Radius sind.

Es gilt: und .

Und damit

• und

Also: .

Nach Definition 12.2.29 2.) gilt also

Es ist also zu zeigen, dass

1. Fall

Ist , so gilt nach Definition 12.2.19: .

Es gilt also:

2. Fall

Ist , so gilt nach Definition 12.2.19: .

Es gilt also:

Abschluss der Fallbetrachtung

Die Aussage gilt also allgemein. Damit gilt auch:

Sei mit

Es ist zu zeigen, dass

Wir haben bereits gezeigt, dass

Damit ist noch zu zeigen, dass

1. Fall: Sei

Dann gilt und damit

Mit Proposition 12.2.3 4.) gilt weiter, dass

Da , gilt .

Mit dem Monotoniegesetz (A8) gilt also:

Abschließend addieren wir mit dem Monotoniegesetz (A8) zu allen Teilen der Ungleichung und erhalten: .

2. Fall

Dann gilt und damit

Mit Proposition 12.2.3 4.) gilt weiter, dass

Mit dem Transitivitätsgesetz (A7) gilt daher auch:

Mit dem Monotoniegesetz (A8) addieren wir zu allen Teilen der Ungleichung und erhalten:

Schluss

Da beide Fälle halten, gilt allgemein, dass , was zu zeigen war.

Schluss

Da beide Teilmengenbeziehungen halten, gilt die Behauptung.