Proposition - Durchschnitt von Unterräumen ist ein Unterraum

• Bewiesen durch:
  • Unterraumkriterium
• Referenz: } Mathematische Grundlagen KE2 - Unterräume

Proposition: Durchschnitt von Unterräumen

Sei ein -Vektorraum. Seien und Unterräume von .

Dann ist auch ein Unterraum von .

Beweis

Sei ein -Vektorraum. Seien und Unterräume von .

Es ist zu zeigen, dass ein Unterraum von ist. Hierzu nutzen wir wieder das Unterraumkriterium.

1. Da und Unterräume von sind, gilt dass . Daher gilt auch .
2. Seien beliebig. Dann gilt auch . Da gilt auch . Da gilt auch . Da gilt auch .
3. Sei beliebig und . Dann gilt . Da und Unterräume von sind, gilt auch . Daraus folgt, dass auch .