Bemerkung - Rechenregeln des Betrags

• Involvierte Definitionen:
  • Betrag einer reellen Zahl
  • Ungleichung

Bemerkung - Rechenregeln des Betrags

Für gilt:

4. -

Beweis

Zu 1.

Sei . Dann gilt nach der Definition des Betrages: also auch .

Ist , dann ist . Nach der Definition des Betrages ist dann und damit auch

Zu 2.

Sei . Dann ist entweder oder .

1. Ist , dann ist und . Also auch
2. Ist , dann ist und . Also auch

Zu 3.

Sei .

Ist , dann gilt und damit auch . Ist , dann gilt .

Zu 4.

Ist , dann gilt . Ist , dann gilt und damit auch .

Zu 5.

Sei . Sei .

Da , gilt nach der 3. Rechenregel von Ungleichungen, dass .

Weiter gilt entweder oder .

• Ist , dann gilt auf jeden Fall
• Ist , dann gilt . Da , gilt nach der 4. Rechenregel von Ungleichungen, dass

Es folgt also .

Zu 6.

So wie 5.