Definition - Zählmaß

• Generalisierungen:
  • Maßfunktion
• Involvierte Definitionen:
  • Maßfunktion
  • Mächtigkeit
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Definition: Zählmaß

Sei eine Grundmenge.
Sei eine -Algebra über .

Als Zählmaß auf bezeichnen wir

Beweis

Wir wollen nun zeigen, dass es sich bei dem Zählmaß um ein wohldefiniertes Maß handelt.

Hierzu ist zu zeigen, dass:

1. und
2. ist -Additiv.

1.

Die erste Eigenschaft ist leicht einzusehen. Da die leere Menge endlich ist, gilt:

was zu zeigen war.

2. ist -additiv.

Der zweite Teil ist etwas schwieriger zu zeigen.

Sei hierzu eine Mengenfolge paarweise disjunkter Mengen . Da eine -Algebra ist, gilt damit auch

Es ist nun zu zeigen, dass:

Wir rufen uns noch mal die Definition des Zählmaßes in Erinnerung:

Memo - Definition des Zählmaßes

An dieser Stelle bietet sich also eine Fallunterscheidung an:

1. Die Mengenfolge enthält ausschließlich endliche Mengen.
2. Die Mengenfolge enthält auch co-endliche Menge.

2.1 enthält ausschließlich endliche Mengen.

Da ausschließlich endliche Mengen enthält, gilt:

Da es sich bei um eine disjunkte Vereinigung handelt, entspricht die Mächtigkeit von der Summe der Mächtigkeiten der einzelnen Mengen , was zu zeigen war.

2.2 enthält auch co-endliche Mengen.

Da mindestens eine Co-Endliche Menge enthält, gilt:

was zu zeigen war.

3.3 Schluss

Da also in jedem Fall

ist -Additiv, was zu zeigen war.

3. Schluss

Da beide Eigenschaften

1. und
2. ist -Additiv.

gezeigt werden konnten, gilt, dass es sich bei um ein wohldefinierte Maßfunktion handelt - was zu zeigen war.