Proposition - Wurzel aus 2 ist irrational

• Involvierte Definitionen:
  • p-te Wurzel
  • Reelle Zahlen
  • Rationale Zahlen
  • Irrationale Zahlen

Proposition: ist irrational

Es gilt: aber .

Beweis

Wir führen den Beweis durch Widerspruch.

Angenommen, ließe sich als gekürzter Bruch mit darstellen.

Durch quadrieren erhalten wir

Da eine gerade Zahl sein muss, muss auch und damit und gerade Zahlen sein.

Das ist aber ein Widerspruch dazu, dass gekürzt ist. Denn wenn und beide gerade sind, dann können sie (mindestens) durch geteilt werden.

Es gibt also keine ganzen Zahlen mit