Proposition - Verhältnis von arithmetischem und geometrischem Mittel

• Involvierte Definitionen:
  • Arithmetisches Mittel
  • Geometrisches Mittel

Proposition: Verhältnis von arithmetischem und geometrischem Mittel

Sind so gilt:

Beweis

Wir führen den Beweis per Widerspruch. Nehmen wir also an, dass

Nach Proposition 12.2.12 dürfen gleichgerichtete Ungleichungen miteinander multipliziert werden. Daher gilt:

Es gibt mit Korollar 12.2.7 jedoch keine reelle Zahl, deren Quadrat ist.

Mit dem Widerspruch folgt