Proposition - Produkt zweier Summen

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  • Summenzeichen
  • Körperaxiome
• Veranstaltung: Mathegrundlagen
• Referenz: Eigener Inhalt

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Proposition: Produkt zweier Summen

Seien .
Seien und .

Dann gilt:

Anmerkung

Achtung!

Ungültig ist jedoch die Folgerung:

\sum_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} \stackrel{ \unicode{x21af}

}{ = }

\left( \sum_{i=1}^{n} a_{i} \right)\cdot \left( \sum_{i=1}^{n} b_{i} \right)

Beweis

Wir führen den Beweis per vollständiger Induktion nach .

Induktionsanfang

Dann gilt:

Damit hält der Induktionsanfang.

Induktionsannahme

Die Induktionsannahme

halte für ein .

Induktionsschritt

Wir wählen hier o.b.d.A .

Es ist zu zeigen, dass

Es gilt:

was zu zeigen war.

Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt die Behauptung für alle .