Proposition - ArgMax-k des Binomialkoeffizienten

• Involvierte Definitionen:
  • ArgMax
  • Binomialkoeffizient
• Veranstaltung: AlMa
• Referenz: AlMa

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Proposition: ArgMax des Binomialkoeffizienten

Für den Binomialkoeffizienten gilt:

Anmerkung

Tipp:

Für alle geraden können wir auch als

schreiben. Wobei außerdem

Beweis

Wir kennen bereits einige grundlegende Eigenschaften des Binomialkoeffizienten. Beispielsweise

oder

Stellt sich die Frage, welcher Wert für zu dem größtmöglichen Wert von führt. Wir fragen uns also, welchen Wert

annimmt.

Das können wir wieder über eine unmotivierte Ungleichung herausfinden.

Aus einer anderen Proposition wissen wir bereits, dass

Was bringt uns das? Nun, der Term zeigt uns an, wie sich der Term im Vergleich zu verhalten wird.

Dabei gilt

Während , wird der Ausdruck

herunterskaliert. Wir wollen aber herausfinden, welches wir einsetzen müssen, um den größtmöglichen Wert herauszufinden. Daher betrachten wir nur eine Teilmenge von Gleichung wie folgt:

Für Gleichung gilt weiter:

Das heißt:

• wächst monoton,
• fällt streng monoton.

Und hieraus ziehen wir auch die Lösung. Es gilt:

Funktion ist . Denn ist ja gerade der Punkt, ab dem der Wert wieder absinkt.