Aufgabe - Geschwisterproblem

• Involvierte Definitionen:
• Veranstaltung: AlMa
• Referenz: AlMa

⠀

Aufgabe: Geschwisterproblem

• (a) Wir fragen eine Mutter, von der wir wissen, dass sie zwei Kinder hat: ‘Haben Sie eine Tochter?’ Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zwei Töchter hat, wenn sie die Frage mit ‘Ja’ beantwortet?
• (b) Wir fragen einen Vater, von dem wir wissen, dass er zwei Kinder hat: ‘Haben Sie einen Sohn, der an einem Dienstag geboren wurde?’ Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zwei Söhne hat, wenn er die Frage mit ’Ja.’ beantwortet?

Teil 1: Haben Sie eine Tochter?

Insgesamt gibt es zwei Kombinationsmöglichkeiten:

• Tochter + Sohn.
• Tochter + Tochter.

Dadurch, dass es zwei Kinder gibt, also zweimal gewürfelt wurde, taucht die gemischte Kombi mit einer Tochter und einem Sohn doppelt auf und ist daher doppelt so wahrscheinlich. Wir hätten die Fälle auch schreiben können als

• Tochter + Sohn.
• Sohn + Tochter.
• Tochter + Tochter.

Wir erhalten also eine Wahrscheinlichkeit von für den Fall, dass die Mutter zwei Töchter hat.

Teil 2: Haben Sie einen Sohn, der an einem Dienstag geboren wurde?

Im Folgenden bezeichne

• JD: Junge, der an einem Dienstag geboren wurde.
• J/D: Junge, der nicht an einem Dienstag geboren wurde.
• M: Mädchen, das an einem beliebigen Tag geboren wurde.

Um die Wahrscheinlichkeiten aufzudröseln, erstellen wir folgenden provisorischen Baum in Form einer verschachtelten unsortierten Liste. Da wir bereits wissen, dass eines der Kinder ein JD ist, können wir einige der Kombinationsmöglichkeiten bereits ausschließen. Die möglichen Kombinationen heben wir hervor.

• J/D
  • J/D
  • JD
  • M
• JD
  • J/D
  • JD
  • M
• M
  • J/D
  • JD
  • M

Wir erhalten also 5 relevante Kombinationsmöglichkeiten, von denen 3 das gewünschte Ergebnis erhalten (im Folgenden hervorgehoben):

• J/D+JD
• JD+JD
• JD+J/D
• JD+M
• M+JD

Die Pfadwahrscheinlichkeiten erhalten wir mittels 1. Pfadregel mit Multiplikation wie folgt:

• J/D+JD:
• JD+JD:
• JD+J/D:
• JD+M:
• M+JD:

Für die Wahrscheinlichkeit, dass der Vater zwei Söhne hat, erhalten wir also:

Weitere Betrachtungen

• Ist der erste Junge an einem Dienstag geboren (0.5*1/7), dann ist der Wochentag des zweiten Jungen egal (0.5).
  • Also: (0.5*1/7)*(0.5)
• Ist der erste Junge nicht an einem Dienstag geboren (0.5*6/7), dann muss der zweite Junge an einem Dienstag geboren worden sein (0.5*1/7)
  • Also: (0.5*6/7)*(0.5*1/7)

Für die Fälle, in denen eines der Geschwisterkinder ein Mädchen ist, haben wir dann jeweils noch mal

• Erst ein Junge an einem Dienstag, dann ein Mädchen an einem beliebigen Tag
  • Also: (0.5*1/7)*(0.5)
• Erst ein Mädchen an einem beliebigen Tag, dann ein Junge an einem Dienstag
  • Also: (0.5)*(0.5*1/7)

Man sieht also: die Wahrscheinlichkeit für einen Jungen ist geringfügig niedriger, weil wir einmal die Fallunterscheidung machen müssen, dass einer der Jungen nicht an einem Dienstag geboren wurde (sonst würden wir diesen Fall nämlich überzählen). Für Mädchen gibt es diese Unterscheidung nicht.

Noch einmal konkret mit Zahlen. 1000 Eltern. Es gibt eine Geburt (gerundet):

• Junge nicht Dienstag
  • 429
• Junge Dienstag
  • 71
• Mädchen
  • 500

Zweite Geburt:

• Junge nicht Dienstag
  • 429
    • Junge nicht Dienstag
      • 183
    • ==Junge Dienstag==
      • 30
    • Mädchen
      • 107
• Junge Dienstag
  • 71
    • ==Junge nicht Dienstag==
      • 30
    • ==Junge Dienstag==
      • 5
    • Mädchen
      • 35
• Mädchen
  • 500
    • Junge nicht Dienstag
      • 214
    • Junge Dienstag
      • 35
    • Mädchen
      • 250

Die fett markierten Einträge sind mögliche Ereignisse, während die gelb hervorgehobenen Einträge günstige Ereignisse darstellen.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhalten wir, indem wir die Häufigkeit der günstigen Ereignisse durch die Häufigkeit der möglichen Ereignisse teilen.

Eine andere Herangehensweise wäre es, alle Möglichkeiten aufzuschreiben:

Zwei Jungen

1. J. Di, J Mo.
2. J. Di, J Di.
3. J. Di, J Mi.
4. J. Di, J Do.
5. J. Di, J Fr.
6. J. Di, J Sa.
7. J. Di, J So.
8. J. Mo, J Di.
9. J. Di, J Di. (schon bei 2.)
10. J. Mi, J Di.
11. J. Do, J Di.
12. J. Fr, J Di.
13. J. Sa, J Di.
14. J. So, J Di.

Ein Junge, ein Mädchen:

1. J. Di, M Mo.
2. J. Di, M Di.
3. J. Di, M Mi.
4. J. Di, M Do.
5. J. Di, M Fr.
6. J. Di, M Sa.
7. J. Di, M So.
8. M. Mo, J Di.
9. M. Di, J Di.
10. M. Mi, J Di.
11. M. Do, J Di.
12. M. Fr, J Di.
13. M. Sa, J Di.
14. M. So, J Di.