Junktoren

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Concept

Jeder Satz der Umgangssprache, der entweder wahr oder falsch ist. Junktoren verknüpfen/manipulieren solche Aussagen.

Definition

Junktoren (lat. iungere = verbinden)

• Die Negation kehrt den Wahrheitswert von Aussagen um:

• Die Konjunktion verlangt, dass beide Aussagen wahr sein müssen

• Die Disjunktion erlaubt, dass eine der beiden Aussagen wahr sind.

• Die Implikation ist genau dann falsch, wenn wahr, aber falsch ist, die Implikation also nicht hält.

  Der Wahrheitstafel folgend, ließe sich auch als schreiben

• Die Äquivalenz ist wahr, wenn beide Aussagen den selben Wahrheitswert haben, also äquivalent sind.

  Der Wahrheitstafel folgend, ließe sich auch als schreiben - oder als Kombination von Implikationen:

Die Umkehrung von

Da äquivalent zu ist, gilt auch die Umkehrung

Herleitung Zuerst schreiben das erste Statement vollständig aus: Dann schreiben wir das invertierte Statement vollständig aus:
und

Wenn wir die beiden ausgeschriebenen Statements vergleichen, sehen wir, dass sie eigentlich identisch sind:

Daraus folgt, dass wir eine Behauptung der Form „Wenn A, dann B“ beweisen können, indem wir die Implikation umkehren und „Wenn ¬B, dann ¬A“ beweisen. Das ist manchmal einfacher

Äquivalenz als Und-Verknüpfte Implikation

Wir können Äquivalenz auch als und-verknüpfte Implikationen, also , schreiben. Aufgelöst entspräche dies

Wir erinnern uns, dass sich Äquivalenz auch wie folgt schreiben lässt:

Wir wenden erste De-Morgan an:

Wir können den Term nun “ausmultiplizieren”:

Die überflüssigen Terme können wir abschneiden (prune):

Wir sehen, dass dieser neue Term nun fast dem initialen Term i. entspricht. Wir müssen lediglich noch einmal De-Morgan anwenden, um die Wahrheitswerte umzudrehen. Schließlich haben wir das am Anfang (von ii. zu iii.) ja auch schon…

Hiermit ist die Äquivalenz gezeigt:

Hieraus folgt, dass wir eine Behauptung der Form „A genau dann, wenn B“ beweisen können, indem wir sie in die Aussage „Wenn A, dann B“ und die Aussage „Wenn B, dann A“ spalten und diese separat beweisen.

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Appendix

• Tags:
  • Math, Aussagenlogik
• Reference:
  • } Mathematische Grundlagen KE1 - Aussagen
• Related:
  • Aussagen

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