Bemerkung - Lineare Unabhängigkeit zur linearen Hülle

• Involvierte Definitionen:
  • Lineare Unabhängigkeit
  • Lineare Hülle
  • Nicht-triviale Darstellung des Nullvektors
  • Triviale Darstellung des Nullvektors
• Referenz:
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Basen endlich erzeugter Vektorräume
  • Mathegrundlagen

Bemerkung: Lineare Unabhängigkeit zur linearen Hülle

Sei ein -Vektorraum und seien .

sind linear unabhängig, wenn

• linear unabhängig sind und

Beweis

Sei und seien linear unabhängig.

Wir führen den Beweis per Widerspruch. Hierzu nehmen wir also an, dass linear abhängig sind.

Dann gibt es eine nicht-triviale Lösung des Nullpolynoms . Da linear unabhängig sind, muss gelten .

Da die Lösung jedoch nicht-trivial ist, muss es einen Koeffizienten geben, der ungleich ist. Hier bleibt nur noch .

Also

Das würde aber bedeuten, dass , was jedoch zuvor ausgeschlossen wurde.

Es gilt also, dass linear unabhängig sind, was zu zeigen war.