Bemerkung - Eindeutigkeit des Infimums

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Bemerkung: Eindeutigkeit des Infimums

Sei und

Wenn ein Infimum besitzt, dann ist dieses eindeutig bestimmt.

Beweis

Wir führen den Beweis durch Widerspruch.

Sei und mit .

Dann gilt nach Definition 12.2.47 1.), dass und untere Schranken von sind.

Da , muss eine der beiden Schranken größer sein als die andere.

O.b.d.A. nehmen wir an, dass . Setze .

Dann gibt es ein mit

Also: . Damit ist jedoch kein Infimum von mehr.

Es folgt, dass das Infimum eindeutig sein muss.