Proposition - Abschätzung des Binomialkoeffizienten

• Involvierte Definitionen:
  • Binomialkoeffizient
• Veranstaltung: AlMa
• Referenz: AlMa

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Proposition: Abschätzung des Binomialkoeffizienten

Sei . Dann gilt:

Anmerkung

Achtung

Diese Abschätzung ist sehr grob, es gilt sogar:

Beweis

Um die Behauptung zu zeigen, machen wir hier einen Umweg über den binomischen Lehrsatz und da führen wir zunächst hin.

Es ist also zu zeigen, dass

Dann gilt auch, dass die Summe

Nach dem binomischen Lehrsatz gilt, dass

Das sieht schon ein wenig nach der Summe eine Gleichung davor aus. Bloß, dass die erste Summe bis und die im binomischen Lehrsatz bis geht.

Wenn wir ein paar Elemente aus der Summe im Lehrsatz entfernen, können wir sagen:

Wir teilen jetzt die gesamte Ungleichung durch :

Um weiter kommen zu können, müssen wir den Wertebereich von einschränken.

Es gelte also: .

Tipp

Aus dieser Einschränkung folgt, dass für jeden Term gilt:

Da jeder dieser Terme also größer als ist, können wir jeden Term nach unten auf abschätzen, ohne die Ungleichung zu verletzen. Mathematisch:

Da gilt auch . Daher können wir wie folgt setzen:

Wir erhalten:

Wir nutzen jetzt wieder das Lemma: . Also:

Wir setzen in die Ursprungsgleichung ein und erhalten:

und ist genau, was wir zeigen wollten