Proposition: ist irrational
Beweis
Wir führen den Beweis durch Widerspruch.
Angenommen, ließe sich als gekürzter Bruch mit darstellen.
Durch quadrieren erhalten wir
Da durch teilbar ist, muss auch durch teilbar sein.
Das heißt aber auch, das durch teilbar ist.
Beweis: ist durch teilbar.
Angenommen, wäre nicht durch teilbar.
Dann gibt es ein für das gilt:
Damit würde für gelten:
- was nicht durch teilbar ist
- , was auch nicht durch teilbar ist.
Da jedoch durch teilbar sein muss, ist das ein Widerspruch.
Das heißt, es gibt ein mit . Dann gilt:
Hieraus folgt, dass auch durch teilbar sein muss.
Wie in dem Beweis dazu, das durch teilbar ist, folgt auch für , dass es durch teilbar sein muss.
Dass und durch teilbar sind ist ein Widerspruch zu der Annahme, dass der Bruch bereits vollständig gekürzt ist.
Dieser Widerspruch zeigt, dass irrational ist.